从异或开始#

异或满足 $x \oplus x = 0$，因此：

$(m \oplus k) \oplus k = m$

OTP 使用同一条密钥流进行加密与解密：

1
加密：c = m ⊕ k
2
解密：m = c ⊕ k

例如，10110010 ⊕ 01101101 = 11011111；将结果再次与相同密钥异或，即可恢复原文。

达到完善保密的三个条件#

1. 密钥必须真正随机。
2. 密钥长度不能短于明文。
3. 每个密钥只能使用一次。

重复使用密钥会失效

若 $c_1=m_1\oplus k$、$c_2=m_2\oplus k$，则 $c_1\oplus c_2=m_1\oplus m_2$。密钥被抵消，两个明文之间的关系暴露给攻击者。

什么是完善保密#

Shannon 对完善保密的表达是：

$P(M \mid C) = P(M)$

即攻击者观察到密文 $C$ 后，对明文 $M$ 的判断没有获得额外信息。对任意给定的 $m$ 与 $c$，OTP 都存在唯一的 $k=m\oplus c$；只要所有等长密钥等概率出现，任何候选明文都同样可能。

理论与现实的差距#

OTP 的问题是密钥分发：加密 100 GB 数据，就需要预先安全地共享 100 GB 真随机且从不复用的密钥。这使它只适合少数具备专用密钥分发能力的场景。

OTP 是理解安全上界的好模型；现实中更常见的选择是经过验证的现代流密码或认证加密方案。